Para quais valores de a ∈ n tais que a + 3 | a^3-3 ?

resposta: a + 3 | a³ - 3 para os valores de a pertencentes ao conjunto C = {0, 2, 3, 7, 12, 27}.

Explicação passo-a-passo:

O exercício pede os valores naturais de a, tais que a + 3 | a³ - 3. Sabe-se, da definição de divisibilidade sobre o conjunto dos números inteiros, que um inteiro a divide o inteiro b se, e somente se, existe um terceiro número c (também inteiro), de maneira que b seja igual ao produto de a e c. Em linguagem matemática, temos:

a | b <=> existe c : b = ac *

A partir da definição * pode-se afirmar que a + 3 | a³ - 3 se, e somente se, a³ - 3 = (a + 3)q **(sendo q um número inteiro). É claramente perceptível que a solução do problema equivale a descobrir para quais valores naturais de a, a divisão do binômio cúbico a³ - 3 pelo binômio linear a + 3 resulte no inteiro q, ou seja, é simplesmente descobrir para quais valores naturais de a, a divisão de a³ - 3 por a + 3 nos fornece um quociente inteiro. Assim sendo, reescreveremos ** para que seja possível fazer uma análise minuciosa do problema e também encontrar os possíveis valores de a. Portanto:

a³ - 3 = (a + 3)q =>

a³ + 27 - 30 = (a + 3)q =>

a³ + 3³ - 30 = (a + 3)q =>

(a + 3)(a² - 3a + 3²) - 30 = (a + 3)q =>

(a + 3)(a² - 3a + 9)/(a + 3) - 30/(a + 3) = q =>

a² - 3a + 9 - 30/(a + 3) = q e q é um número inteiro ***

É sabido que a é um número natural, então (a + 3)(a² - 3a + 9) é, necessariamente, inteiro. De *** tiramos que q será um número inteiro quando 30/(a + 3) também o for. Para que 30/(a + 3) seja inteiro, a + 3 deverá ser um divisor de 30. Posto isto, temos os seguintes conjuntos de divisores de 30:

+ D(30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}, sendo + D(30) o conjunto dos divisores positivos de 30.

- D(30) = {- 1, - 2, - 3, - 5, - 6, - 10, - 15, - 30}, onde - D(30) é o conjunto dos divisores negativos de 30.

Perceba que a + 3 não pode ser igual a nenhum dos divisores negativos de 30, pois a é um número natural (jamais é negativo). Portanto, as únicas possibilidades para a + 3 serão os elementos do conjunto dos divisores positivos de 30. Logo:

a + 3 = 1 => a = 1 - 3 = - 2 (Inválido)

a + 3 = 2 => a = 2 - 3 = - 1 (Inválido)

a + 3 = 3 => a = 3 - 3 = 0 (Válido)

a + 3 = 5 => a = 5 - 3 = 2 (Válido)

a + 3 = 6 => a = 6 - 3 = 3 (Válido)

a + 3 = 10 = > a = 10 - 3 = 7 (Válido)

a + 3 = 15 => a = 15 - 3 = 12 (Válido)

a + 3 = 30 => a = 30 - 3 = 27 (Válido)

Abraços!