Seja a uma matriz quadrada de ordem n, então um vetor não nulo v pertencente ao rn e denominada autovetor de a se av for múltiplo escalar de v, isto é av =yv, em que y e um número real ( escalar ). o escalar y é denominado autovalor de a, e denominamos v autovetor associado a y. uma vez calculados os autovalores de matriz a, seus autovetores podem ser encontrados resolvendo o sistema de equação ( a- yi)v= 0 para cada autovalores encontrado. considerando a matriz a a seguir. a=[1 3 -1 5]. sabendo que os autovalores associados a matriz a são y = 2 e y=5, identifique os autovalores de a.​

Analisando as equações de autovetor temos que este são:

Para Y=2, temos (3,1).

Para Y=5, temos (3,4).

Explicação passo-a-passo:

Então temos a seguinte matriz:

E vamos supor um vetor qualquer da forma:

Fazendo a multiplicando desta vetor pela matriz, e supondo que este é o autovetor que nos da o auto valor Y=2, então:

Assim fazendo essas multiplicações, temos o sistema:

Ajeitando para ficar melhor de ver:

Ou seja, este é um sistema com infinitas soluções do tipo:

Então o nosso vetor é:

Colocando b em evidência:

Assim temos que o nosso auto vetor do autovalor de Y=2 é (3,1).

Agora vamos repetir o mesmo processo para o autovalor de Y=5:

Temos então o sistema:

Resolvendo:

Logo temos que este vetor é do tipo:

Colocando a em evidência:

Multiplicando este vetor por 3, uma vez que a é uma constante arbitrária:

Assim temos que este autovetor para o autovalor de Y=5 é (3,4).

Sabemos que a matriz

tem valores próprios e .

Seja o vetor próprio associado ao valor próprio . Temos então:

onde se escreveu , com não simultaneamente nulos.

Resolvendo o sistema, vem:

Note que o sistema é possível e indeterminado, uma vez que se um dado é vetor próprio associado a um dado valor próprio, também é valor próprio associado ao mesmo valor próprio, com . Temos então que, para cada , temos vetores próprios:

Concluímos daqui que a afirmação I) é correta, enquanto as afirmações IV), e V) são incorretas.

Seja agora o vetor próprio associado ao valor próprio . Temos então:

onde se escreveu uma vez mais , com não simultaneamente nulos.

Resolvemos agora o sistema:

Temos então que, para cada , temos vetores próprios:

Concluímos daqui que a afirmação II) é correta, enquanto a afirmação III) é incorreta.

resposta: