Asequência (a, b, 12) é uma p. a, e a sequência (16, b, a) é uma p. g. determine os valores de a e b

Utilizando média aritmética para a P.A.: 

(a + 12) / 2 = b 
2.b = a + 12 
a = 2.b - 12 (i) 

Utilizando média harmônica para a P.G.: 
16.a = b² 
a = b² / 16 (ii) 

Igualando (i) e (ii), para encontrar b: 
2.b - 12 = b² / 16 
32.b - 192 = b² 
b² - 32.b + 192 = 0 

Resolvendo a equação do 2º grau gerada, encontraremos dois possíveis valores para b: 

b = 24 
ou 
b´ = 8 

Substituindo os resultados encontrados (valores de b) em (i), a fim de encontrar os valores de a: 

a = 2.(24) - 12 
a = 48 - 12 = 36 

ou 

a´ = 2.(8) - 12 
a´ = 16 - 12 
a´ = 4 
 
Testando os resultados obtidos: 

Primeira possibilidade: (a; b) 
P.A.: (36; 24; 12) ok 
P.G.: (16; 24 ;36) ok 

Segunda possibilidade: (a´; b´) 
P.A.: (4; 8; 12) ok 
P.G.: (16; 8; 4) ok

Guarde a equação acima.










Como a = 2b - 12:




















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Quando b for 24:






Quando b for 8:






Soluções:

b = 24 e a = 36
a = 4 e b = 8

Usando propriedades da PA e da PG:



Resolvendo a equação temos a = 4 ou a = 36

Se a = 4  -----> PA(4,8,12)         PG(16, 8 ,4)

Se a=36 -----> PA(16,26,36)      PG(16,24,36

Usando propriedades das progressões:



Se a = 4     b = 8
Se a = 36   b = 24