A resolução deste exercício pelos lemas de Kaplansky ..é a forma mais complicada de os resolver, porque:
--> Os lemas de Kaplansky são mais direcionados para problemas de "não consecutividade" entre os conjuntos ..e neste caso temos também as possibilidades de as vogais e as consoantes poderem estar ..juntas (consecutivas)!!
--> O 2º lema de Kaplansky é também mais direcionado para situações em que esteja implícita uma "permutação circular" ...pelo que julgo que podemos excluir o 2º lema desta resolução!!
Assim, vamos apenas utilizar o 1º lema para a resolução destas questões ..e descrevê-lo passo a passo!
Questão - a) quantos anagramas com a palavra ALUNO podemos formar apresentando as consoantes em ordem alfabética , não necessariamente juntas?
...temos 5 letras ..para selecionar apenas 2 (L, N)
vamos começar o "desenvolvimento clássico" designando por:
=> " - " os elementos não significativos (A,U,O)
=> " О " os elementos significativos (L,N)
О - О - О - О <- temos 4 possibilidades para colocar os elementos (L,N)
segundo o 1º lema teríamos:
C[(n - p + 1), p]
..note que n = 5 ..p = 2 (L,N) ...e (n - p) = 3 (A,O,U) ..substituindo na fórmula
C[(5 - 2 + 1), 2]
ou
C(4,2) = 4!/2!2! = 12/2! = 6
..mas os elementos definidos por "(n - p)" podem permutar entre si ..donde resulta
C[(n - p + 1), p] . P(3) ..ou ainda C(4,2) . 3! = 6 . 6 = 36
pronto já estão determinados todos os elementos NÃO REPETIDOS ..isto é ..todos os anagramas em que as consoantes NÃO ESTÃO juntas (embora estejam em ordem alfabética).
Falta-nos calcular as repetições ..ou seja os anagramas em "L+N" estejam juntos ..ou por outras palavras sejam apenas ..uma letra.
О - О - О - О <- temos 4 possibilidades para colocar os elementos (L,N) ..como uma única letra
C[(n - p + 1), p]
..note que n = 4 ..p = 1 (L+N) ...e (n - p) = 3 (A,O,U) ..substituindo na fórmula
C[(4 - 1 + 1), 1]
ou
C(4,1) = 4!/1!3! = 4
..como as letras (A,O,U) ou (n - p) podem permutar entre si termos
C[(4 - 1 + 1), 1] . 3!
C = 4 . 6 = 24 <--anagramas com as consoantes consecutivas
Finalmente podemos agregar a formula global desta resolução ..no conceito do 1º lema de Kaplansky:
f = {C[(5 - 2 + 1), 2] . 3!} + {C[(4 - 1 + 1), 1] .. 3!}
f = 36 + 24
f = 60 <-- número de anagramas com as consoantes na mesma ordem
Questão - b) quantos anagramas com a palavra ALUNO podemos formar apresentando as vogais em ordem alfabética , não necessariamente juntas?
vamos seguir o mesmo raciocínio ...não duplicando alguns passos para simplificar a resolução:
=> " - " os elementos não significativos (L,N))
=> " О " os elementos significativos (A,O,U)
О - О - О <- temos 3 possibilidades para colocar os elementos (A,O,U)
C[(n - p + 1), p]
..note que n = 5 ..p = 3 (A,O,U) ...e (n - p) = 2 (L,N) ..substituindo na fórmula
C[(5 - 3 + 1), 3]
ou
C(3,3) = 3!/3! = 1
como as letras (L,N) ou (n - p) podem permutar entre si termos
C[(5 - 3 + 1), 3] . P(2)
ou
C[(5 - 3 + 1), 3] . 2! = 1 . 2! = 2 <-- 2 anagramas em que as vogais estão separadas
vamos agora calcular os anagramas em que elas estão juntas mas note que elas podem estar juntas de várias formas:
A,O + U ..como 2 letras
A + O,U ..como 2 letras
A+O+U ..como 1 letra única
..e em qualquer destes casos ..as consoantes poderiam permutar entre si
assim teríamos para:
A,O + U ..como 2 letras
C[(4 - 2 + 1), 2] . P(2) = C(3,2) . 2! = 3 . 2 = 6 anagramas
A + O,U ..como 2 letras
C[(4 - 2 + 1), 2] . P(2) = C(3,2) . 2! = 3 . 2 = 6 anagramas
A+O+U ..como 1 letra única
C[(3 - 1 + 1), 1] . P(2) = C(3,2) . 2! = 3 . 2 = 6 anagramas
Finalmente e agregando tudo numa única fórmula teríamos:
f = {C[(5 - 3 + 1), 3] . 2!} + {C[(4 - 2 + 1), 2] . 2!} + {C[(4 - 2 + 1), 2] . 2!} + {C[(3 - 1 + 1), 1] . 2!}
f = 2 + 6 + 6 + 6
f = 20 anagramas com as vogais na mesma ordem..
Espero ter ajudado!!
